UNIDAD N°4

 

DEFINICIONES DE FUNCIONES Y RELACIONES:

FUNCIÓN: Es una relación a la que se le añade la restricción de que a cada valor del dominio le corresponde uno y solo un valor del recorrido.

RELACIÓN: Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado rango, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del rango.

EJEMPLOS: 

1. En una tienda, a cada trabajador se le asigna una o más personas.

2. A cada persona le corresponde una chompa.

3. Por cada marca de comida hay una calidad diferente.

4. A cada familia le corresponde uno o varios carros.

5. A cada estudiante le corresponde un asiento en el aula de clases.

ELEMENTOS DE LAS FUNCIONES:

DOMINIO: Conjunto de valores de entrada de la función.

RANGO: Conjunto de valores de la salida de la función.

CODOMINIO: Todos los posibles valores de salida de la función.

REGLA DE CORRESPONDIENCIA: Proceso que ocurre dentro de las máquinas de funciones.

VARIABLE INDEPENDIENTE: La que conforma de Dominio.

VARIABLE INDEPENDIENTE: La que conforma el Rango.

                             

EJEMPLOS: 

INFOGRAFÍA - REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIONES:

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:

POLINOMIALES:

Constante: No tiene variable.

Lineal: Grado 1.

Cuadrática: Grado 2.

Cúbica: Grado 3.

Orden Superior: Grado mayor o igual a 4.

Radical: Contiene una raíz.

Racional: En fracción (El denominador debe contener una variable).

TRANSCENDENTALES:

Exponencial: La variable es el exponente.

Logarítmica: log = Logaritmo de base 10.

                   ln = Logaritmo natural o neperiano.

TRIGONOMÉTRICAS: 

Seno 

                           

Coseno

                         

Tangente   

Cosecante

Secante

Cotangente

TIPOS DE FUNCIONES:

PARAMETROS DE ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES:

DOMINIO: Corresponde a todos los valores que toma la gráfica de la función a lo largo del eje "x". Se analiza de izquierda a derecha, es decir, de menor a mayor.

RANGO: Corresponde a todos los valores que toma la gráfica de la función a lo largo del eje "y". Se analiza de abajo hacia arriba, es decir, de menor a mayor.

1. Para hacerlo, se debe despejar la "x". 

2. Después, la función despejada se revisa en la tabla de restricciones y se obtiene el rango.

3. Para ciertas funciones como constantes, lineales, cúbicas, etc. El rango ya está definido.

CEROS O RAÍCES: Corresponden a los cortes de la gráfica de la función con el eje de las "y". El número de soluciones depende de cada función en particular.

PROCEDIMIENTO:

1. Se iguala a cero por lo que se convierte en ecuación.

2. Resolver dicha ecuación por cualquiera de los métodos conocidos.

3. Las soluciones de las ecuaciones corresponden a los ceros o raíces.

CORTE EN EK EJE "Y": Corresponde a la intersección de la gráfica de la función con el eje "y". Puede tener como máximo un corte en el eje "y" o simplemente no haber uno.

PROCEDIMIENTO:

1. Reemplazar todos los valores de "x" por cero.

2. El valor resultante corresponderá el corte con el eje "y".

SIMETRÍA: Es el reflejo que sufre un objeto con respecto a un punto de partida o referencia.

PARIDAD: Se encuentra directamente relacionada con la simetría.

Vemos que el punto (1,-3) y su simétrico respecto al eje "y" (-1,-3), es decir, el punto que está a la misma distancia del eje "y", pero en el lado contrario, pertenecen ambos a la gráfica de la función.

MONOTONÍA: Permite conocer el comportamiento de la gráfica de la función, en otras palabras, si sube, baja o se mantiene.

CONTINUIDAD: Es la función que se puede graficar con un solo trazo, sin levantar la mano.

Estos dos parámetros se analizan de forma gráfica, de izquierda a derecha.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES MEDIANTE PROBLEMAS:

1. FUNCIÓN POLINOMIAL LINEAL:

Christine se demoró una hora en leer 22 páginas de “Harry Potter y la Orden del Fénix.” Le quedan por leer 100 páginas para terminar el libro. Suponiendo que lee a una velocidad constante, ¿en cuánto tiempo espera ella terminar de leer el libro?

Solución:

No contamos con la suficiente información para escribir una ecuación. No sabemos la pendiente o el intercepto en y− . Sin embargo, tenemos dos puntos que podemos graficar. Sabemos que si Christine nunca hubiese tomado un libro, ella habría leído cero páginas. Por lo tanto, Christine se demora 0 horas en leer 0 páginas. También sabemos que le tomó a Christine una hora leer 22 páginas. Las coordenadas que podemos graficar son (0, 0) y (1, 22).

Si utilizas el gráfico y encuentras 100 páginas, puedes determinar que Christine se demorará unas 4,5 horas en leer 100 páginas.

También puedes pensar en esto como una situación de variación directa y resolverlo como una proporción.

RESPUESTA: Christine se demorará en leer 100 paginas en 4,55 horas.

2. FUNCIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICA:

El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por.

P (x) = 5000 + 1000x - 5x ²
Donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad. 

Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio. 

Encuentra el máximo beneficio Pmax.

SOLUCIÓN:

P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a

x = H = -1000 / 2 (-5) = 100

La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P

k = c - b ² / 4a

La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100)

               P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) ² = 55000.

Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.

Abajo se muestra la gráfica de P (x), observe el punto máximo, el vértice, en (100, 55000)

3. FUNCIÓN POLINOMIAL CÚBICA:

Una caja de cartón tiene base cuadrada, y cada lado de la base mide "x" cm. En total, las 12 aristas suman 120cm. Tomar en cuenta el gráfico.

Determinar el volumen de la caja en función de "x".

4. FUNCIÓN POLINOMIAL RACIONAL:

Se administra un medicamento a un paciente y se vigila la concentración de dicho medicamento en la sangre. en el tiempo (t mayor o igual a 0(en horas desde que se aplicó el medicamento), la concentración (en mg/L) está dada por: c(t)=4t/t^2+1.

¿Qué ocurre con la concentración después de muchas horas?

¿Cuánto tarda la concentración en llegar a 2mg/L?

5. FUNCIÓN POLINOMIAL RADICAL:

Encontrar el dominio y el rango de la función: 

Dominio:                        Rango:

     

6. FUNCIÓN TRANSCENDENTAL EXPONENCIAL:

Un cultivo contiene 120 bacterias inicialmente y a cada hora esta cantidad se duplica.

Encontrar la función que modele el número de bacterias después de t horas.

Encontrar la cantidad de bacterias después de 15 horas.

7. FUNCIÓN EXPONENCIAL LOGARITMICA:

Una variedad de peces fue introducida en el océano pacífico. Se estima que cada 3 meses, esta población se duplica. Un cardumen inicia con 100 peces; y el tiempo t(tres meses) que se necesita para que dicho cardumen crezca a "P" peces se establece por:

¿En cuánto tiempo el cardumen crecerá a 2 millones de peces? 

R: 42,86 meses.

¿Cuál será el tamaño del cardumen luego de 18 meses?